Déscription Théorique

Après avoir déterminé les formes analytiques de l'énergie potentielle Ep et l'énergie cinétique Ec nous calculerons le Lagrangien de notre système grâce à la formule L=Ec-Ep puis déterminerons les équations du mouvement des différents, en appliquant la formule d'Euler-Lagrange :

• a)Pendule pesant simple


On peut établir l'équation différentielle du mouvement d'oscillation simplement à partir de la conservation de l'énergie mécanique. En négligeant les frottements, l'énergie mécanique du pendule est constante: elle est la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle.

Dans le cas du modèle du pendule pesant simple, on considère que l'objet se ramène à une masse ponctuelle m, qui se déplace à la distance l de l'axe (longueur du fil ou de la tige, considérée inextensible et sans masse). On en déduit:

avec

• g est l'accélération de la pesanteur.
• est l'angle que fait le pendule, avec la verticale, à un temps t
• (0) est l'angle maximal.


L'énergie mécanique étant constante dans le temps, sa dérivée est nulle. En dérivant la relation ci-dessus par rapport au temps on obtient après simplification:



Cette équation est celle d'un oscillateur non harmonique, c’est-à-dire non sinusoïdal.

La période T des oscillations dépend de l'amplitude du mouvement.

Par contre, la période ne dépend pas de la masse.

Pour de faibles oscillations, l'équation différentielle peut approximativement s'écrire:



On voit donc que, pour de faibles amplitudes permettant d'approcher le sinus à son angle, le pendule se comporte comme un oscillateur harmonique. La période est alors indépendante de l'amplitude. On appelle ceci l'isochronisme des petites oscillations. Cette période s'exprime alors simplement par:






• b)Cas d'un pendule tournant
Nous prendrons pour notre pendule les paramètres suivants longueur L=1m,la force g=9.8 S.I,   angle de rotation du pendule autour de son axe ,   vitesse de rotation du pendule par rapport a l'axe z, et    vitesse de

rotation du système autour de l'axe z.

On calcule les dérivées des coordonnées x, y et z dans le but de calculer ensuite la vitesse ainsi on en déduit l'énergie cinétique et l'énergie potentielle.














On calcule ainsi la vitesse:           ----->     


Puis on en déduit l'énergie cinétique:     


et ensuite l'énergie potentielle:     


D'après la formule d'Euler-Lagrange, on a:     


et comme     


Donc     


On calcule           et     


Par rapport a theta on obtient les équations du mouvement suivant:     


On fait ensuite la même chose dans le cas de phi:


Ainsi on obtient:     


et


Comme     


Par rapport a phi on obtient l'équation du mouvement suivant:      

c)Cas d'un pendule tournant incliné

Pour le cas du pendule tournant incliné, un seul paramètre est rajouté, qui ne modifie pas vraiment l'équation du mouvement obtenue précédement. Ce qui change c'est l'énergie potentiel, ainsi on obtient comme équation du mouvement:


Par rapport à :     


Et par rapport à :     


avec inclinaison du pendule par rapport à la gravité.

AKOUALA-RARIJAONA